601 數(shù)學(xué)分析 考試大綱

一、考試總體要求與考試要點(diǎn)

1.考試對(duì)象

考試對(duì)象為具有全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試資格并報(bào)考西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院碩士研究生的考生。

2.考試總體要求

測(cè)試考生對(duì)數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容的理解、掌握和熟練程度。要求考生熟悉數(shù)學(xué)分析的基本理論、掌握數(shù)學(xué)分析的基本方法，具有較強(qiáng)的抽象思維能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力。

3.考試內(nèi)容和要點(diǎn)

（一）實(shí)數(shù)集與函數(shù)

1、實(shí)數(shù)：實(shí)數(shù)的概念；實(shí)數(shù)的性質(zhì)；絕對(duì)值不等式。

2、函數(shù)：函數(shù)的概念；函數(shù)的定義域和值域；復(fù)合函數(shù)；反函數(shù)。

3、函數(shù)的幾何特性：?jiǎn)握{(diào)性；奇偶性；周期性。

要求：理解和掌握絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，會(huì)求解絕對(duì)值不等式；掌握函數(shù)的概念和表示方法，會(huì)求函數(shù)的定義域和值域，會(huì)證明具體函數(shù)的幾何特性。

（二）數(shù)列極限

1、數(shù)列極限的概念（ 定義）。

2、數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性；有界性；保號(hào)性。

3、數(shù)列極限存在的條件：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則；兩邊夾法則。

要求：理解和掌握數(shù)列極限的概念，會(huì)使用 語(yǔ)言證明數(shù)列的極限；掌握數(shù)列極限的基本性質(zhì)、運(yùn)算法則以及數(shù)列極限的存在條件(單調(diào)有界原理和兩邊夾法則)，并能運(yùn)用它們求數(shù)列極限；了解無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念性質(zhì)和運(yùn)算法則，會(huì)比較無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的階。

（三）函數(shù)極限

1、函數(shù)極限的概念（ 定義、 定義）；單側(cè)極限的概念。

2、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性；局部有界性；局部保號(hào)性。

3、函數(shù)極限存在的條件：海涅歸結(jié)原則。

4、兩個(gè)重要極限。

要求：理解和掌握函數(shù)極限的概念，會(huì)使用 語(yǔ)言以及 語(yǔ)言證明函數(shù)的極限；掌握函數(shù)極

限的基本性質(zhì)、運(yùn)算法則，會(huì)使用海涅歸結(jié)原理證明函數(shù)極限不存在；掌握兩個(gè)重要極限并能利用它們來(lái)求極限；了解單側(cè)極限的概念以及求法。

（四）函數(shù)連續(xù)

1、函數(shù)連續(xù)的概念：一點(diǎn)連續(xù)的定義；區(qū)間連續(xù)的定義；單側(cè)連續(xù)的定義；間斷點(diǎn)的分

類。

2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：局部性質(zhì)及運(yùn)算；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值性、有界性、介

值性、一致連續(xù)性）；復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性；反函數(shù)的連續(xù)性。

3、初等函數(shù)的連續(xù)性。

要求：理解與掌握函數(shù)連續(xù)性、一致連續(xù)性的定義以及它們的區(qū)別和聯(lián)系，會(huì)證明具體函數(shù)的連續(xù)以及一致連續(xù)性；理解與掌握函數(shù)間斷點(diǎn)的分類；能正確敘述并簡(jiǎn)單應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)以及初等函數(shù)的連續(xù)性。

（五）實(shí)數(shù)系六大基本定理及應(yīng)用

1、實(shí)數(shù)系六大基本定理：確界存在定理；單調(diào)有界定理；閉區(qū)間套定理；致密性定理； 柯西收斂準(zhǔn)則；有限覆蓋定理。

2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明：有界性定理的證明；最值性定理的證明；介值性定理的證明；一致連續(xù)性定理的證明。

要求：理解和掌握上、下確界的定義，會(huì)求具體數(shù)集的上、下確界；理解和掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)及其證明；能正確敘述實(shí)數(shù)系六大基本定理的內(nèi)容及其證明思想，會(huì)使用開(kāi)覆蓋以及二分法構(gòu)造區(qū)間套進(jìn)行簡(jiǎn)單證明。

（六）導(dǎo)數(shù)與微分

1、導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義；單側(cè)導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

2、求導(dǎo)法則：初等函數(shù)的求導(dǎo)；反函數(shù)的求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)；隱函數(shù)的求導(dǎo)；參數(shù)方程的求導(dǎo)；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(四則運(yùn)算)。

3、微分：微分的定義；微分的運(yùn)算法則；微分的應(yīng)用。

4、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。

要求：能熟練地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求具體函數(shù)的（高階）導(dǎo)數(shù)和微分；理解和掌握可導(dǎo)與可微、可導(dǎo)與連續(xù)的概念及其相互關(guān)系；掌握左、右導(dǎo)數(shù)的概念以及分段函數(shù)求導(dǎo)方法，了解導(dǎo)函數(shù)的介值定理。

（七）微分學(xué)基本定理

1、中值定理：羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理。

2、泰勒公式。

要求：理解和掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；了解泰勒公式及在近似計(jì)算中的應(yīng)用， 能夠把某些函數(shù)按泰勒公式展開(kāi)

（八）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、函數(shù)的單調(diào)性與極值。

2、函數(shù)凹凸性與拐點(diǎn)。

3、幾種特殊類型的未定式極限與洛必達(dá)法則。

要求：理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，會(huì)使用這些性質(zhì)求函數(shù)的極值點(diǎn)以及拐點(diǎn)；能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線等進(jìn)行作圖；能熟練地運(yùn)用洛必達(dá)法則求未定式的極限。

（九）不定積分

1、不定積分概念。

2、換元積分法與分部積分法。

3、有理函數(shù)的積分。

要求：理解和掌握原函數(shù)和不定積分概念以及它們的關(guān)系；熟記不定積分基本公式，掌握換元積分法、分部積分法，會(huì)求初等函數(shù)、有理函數(shù)、三角函數(shù)的不定積分。

（十）定積分

1、定積分的概念；定積分的幾何意義。

2、定積分存在的條件：可積的必要條件和充要條件；達(dá)布上和與達(dá)布下和；可積函數(shù)類(連續(xù)函數(shù)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù))。

3、定積分的性質(zhì)：四則運(yùn)算；絕對(duì)值性質(zhì)；區(qū)間可加性；不等式性質(zhì)；積分中值定理。

4、定積分的計(jì)算：變上限積分函數(shù)；牛頓-萊布尼茲公式；換元公式；分部積分公式。要求：理解和掌握定積分概念、可積的條件以及可積函數(shù)類；熟練掌握和運(yùn)用牛頓-萊布

尼茲公式，換元積分法，分部積分法求定積分。

（十一）定積分的應(yīng)用

1、定積分的幾何應(yīng)用：微元法；求平面圖形的面積；求平面曲線的弧長(zhǎng)；求已知截面面積的立體或者旋轉(zhuǎn)體的體積；求旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

2、定積分的物理應(yīng)用：求質(zhì)心；求功；求液體壓力。

要求：理解和掌握"微元法"；掌握定積分的幾何應(yīng)用；了解定積分的物理應(yīng)用。

（十二）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、預(yù)備知識(shí)：上、下極限；無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念；收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)；柯西收斂原理。

2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)：比較判別法；達(dá)朗貝爾判別法；柯西判別法；積分判別法。

3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及其性質(zhì)；交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茲判別法；阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

要求：理解和掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法以及交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法；掌握一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的阿貝爾判別法與狄利克雷判別法；了解上、下極限的概念和性質(zhì)以及絕對(duì)收斂和條件收斂的概念和性質(zhì)。

（十三）反常積分

1、無(wú)窮限的反常積分：無(wú)窮限的反常積分的概念；無(wú)窮限的反常積分的斂散性判別法。

2、無(wú)界函數(shù)的反常積分：無(wú)界函數(shù)的反常積分的概念；無(wú)界函數(shù)的反常積分的斂散性判別法。

要求：理解和掌握反常積分的收斂、發(fā)散、絕對(duì)收斂、條件收斂的概念；掌握反常積分的柯西收斂準(zhǔn)則，會(huì)判斷某些反常積分的斂散性。

（十四）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、一致收斂的概念。

2、一致收斂的性質(zhì)：連續(xù)性定理；可積性定理；可導(dǎo)性定理。

3、一致收斂的判別法；M-判別法；阿貝爾判別法；狄利克雷判別法。

要求：理解和掌握一致收斂的概念、性質(zhì)及其證明；能夠熟練地運(yùn)用 M-判別法判斷一些函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性。

（十五）冪級(jí)數(shù)

1、冪級(jí)數(shù)的概念以及冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域。

2、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)。

3、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。

要求：理解和掌握冪級(jí)數(shù)的概念，會(huì)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)以及它的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域；掌握冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)以及兩種將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法，會(huì)把一些函數(shù)直接或者間接展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。

（十六）傅里葉級(jí)數(shù)

1、傅里葉級(jí)數(shù)：三角函數(shù)系的正交性；傅里葉系數(shù)。

2、以 為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。

3、以 2L 為周期的傅里葉級(jí)數(shù)。

4、收斂定理的證明。

5、傅里葉變換。

要求：理解和掌握三角函數(shù)系的正交性與傅里葉級(jí)數(shù)的概念；掌握傅里葉級(jí)數(shù)收斂性判別法；能將一些函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)；了解收斂定理的證明以及傅里葉變換的概念和性質(zhì)。

（十七）多元函數(shù)極限與連續(xù)

1、平面點(diǎn)集與多元函數(shù)的概念。

2、二元函數(shù)的二重極限、二次極限。

3、二元函數(shù)的連續(xù)性。

要求：理解和掌握二元函數(shù)的二重極限、二次極限的概念以及它們之間的關(guān)系，會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的二重極限和二次極限；掌握平面點(diǎn)集、聚點(diǎn)的概念；了解平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本定理以及閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

（十八）多元函數(shù)的微分學(xué)

1、偏導(dǎo)數(shù)與全微分：偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念；可微與可偏導(dǎo)、可微與連續(xù)、可偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

2、復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)以及隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)。

3、空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線。

4、方向?qū)?shù)與梯度。

5、多元函數(shù)的泰勒公式。

6、極值和條件極值

要求：理解和掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、梯度的概念及其計(jì)算；掌握多元函數(shù)可微、可偏導(dǎo)和連續(xù)之間的關(guān)系；會(huì)求空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線；會(huì)求函數(shù)的極值、最值；了解多元泰勒公式。

（十九）隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)

1、隱函數(shù)：隱函數(shù)存在定理；反函數(shù)存在定理；雅克比行列式。

2、函數(shù)相關(guān)。

要求：了解隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)存在定理，會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；了解函數(shù)行列式的性質(zhì)以及函數(shù)相關(guān)。

（二十）含參變量積分以及反常積分

1、含參變量積分：積分與極限交換次序；積分與求導(dǎo)交換次序；兩個(gè)個(gè)積分號(hào)交換次序。

2、含參變量反常積分：含參變量反常積分的一致收斂性；一致收斂的判別法；歐拉積分、函數(shù)、 函數(shù)。

要求：理解和掌握積分號(hào)下求導(dǎo)數(shù)的方法；掌握 函數(shù)、 函數(shù)的性質(zhì)及其相互關(guān)系；了解含參變量反常積分的一致收斂性以及一致收斂的判別法。

（二十一）重積分

1、重積分概念：重積分的概念；重積分的性質(zhì)。

2、二重積分的計(jì)算：用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分；用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；用一般變換計(jì)算二重積分。

3、三重積分計(jì)算：用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分；用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分；用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分。

4、重積分應(yīng)用：求物體的質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；求立體體積，曲面的面積；求引力。

要求：理解和掌握二重、三重積分的各種積分方法和特點(diǎn)，會(huì)選擇最合適的方法進(jìn)行積分； 掌握并合理運(yùn)用重積分的對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算；了解柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)積分元素的推導(dǎo)。

（二十二）曲線積分與曲面積分

1、第一類曲線積分：第一類曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算；第一類曲線積分的對(duì)稱性。

2、第二類曲線積分：第二類曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算；兩類曲線積分的聯(lián)系。

3、第一類曲面積分：第一類曲面積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算；第一類曲面積分的對(duì)稱性。

4、第二類曲面積分：曲面的側(cè)；第二類曲面積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算；兩類曲面積分的聯(lián)系。

5、格林公式：曲線積分與路徑的無(wú)關(guān)的四種等價(jià)敘述。

6、高斯公式。

7、斯托克斯公式。

8、場(chǎng)論初步：梯度；散度；旋度。

要求：理解和掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算，會(huì)使用對(duì)稱性簡(jiǎn)化第一類曲線以及曲面積分；熟練掌握格林公式、高斯公式的證明并能利用它們求一些曲線積分和曲

面積分；了解兩類曲線積分及曲面積分的區(qū)別和聯(lián)系；了解斯托克斯公式和場(chǎng)論初步。

二、考試形式

1. 考試時(shí)間：180 分鐘。2．試卷分值：150 分。3．考試方式：閉卷考試。
 

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