2022陜西科技大學高等數學碩士研究生考研考試大綱及參考書目 正文

考核要點
第一章    函數、極限、連續(xù)
基本要求：
    1.在中學已有函數知識的基礎上，加深對函數概念的理解和函數性質（奇偶性、單調性、周期性和有界性）的了解。
    2.理解復合函數的概念，了解反函數的概念。
    3.會建立簡單實際問題中的函數關系式。
    4.理解極限的概念，了解極限的 定義。
    5.熟練掌握極限的有理運算法則，會用變量代換求某些簡單復合函數的極限。
    6.了解極限的性質（唯一性、有界性、保號性）和兩個存在準則（夾逼準則與單調有界準則），會用兩個重要極限 與 求極限。
    7.了解無窮小、無窮大、高階無窮小和等價無窮小的概念，會用等價無窮小求極限。
    8.理解函數在一點連續(xù)和在一區(qū)間上連續(xù)的概念。
    9.了解函數間斷點的概念，會判別間斷點的類型。
10.了解初等函數的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數的介值定理與最大值、最小值定理。
本章重點：極限概念，極限的四則運算法則，利用兩個重要極限求極限 , 函數的連續(xù)性。
本章難點：極限的定義，極限存在準則。
第二章    導數與微分
基本要求：
    1.理解導數的概念及其幾何意義（不要求學生做利用導數的定義研究抽象函數可導性的習題），了解函數的可導性與連續(xù)性之間的關系。
    2.了解導數作為函數變化率的實際意義，會用導數表達科學技術中一些量的變化率。
    3.熟練掌握導數的有理運算法則和復合函數的求導法，掌握基本初等函數的導數公式。
    4.理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部線性化思想，了解微分的有理運算法則和一階微分形式不變性。
    5.了解高階導數的概念，熟練掌握初等函數一階、二階導數的求法（不要求學生求函數的 階導數的一般表達式）。
6.會求隱函數和由參數方程所確定的函數的一階導數以及這兩類函數中比較簡單的二階導數，會解一些簡單實際問題中的相關變化率問題。
本章重點：導數的定義，初等函數導數的求法（一階及二階）。
本章難點：復合函數求導法，高階導數的求法。
第三章    中值定理與導數的應用
基本要求：
1.理解羅爾（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，了解柯西（Cauchy）定理（對三個定理的分析證明不作要求，并且不要求學生掌握構造輔助函數證明相關問題的技巧），會用洛必達（L'Hospital）法則求不定式的極限。
   2.了解泰勒（Taylor）定理以及用多項式逼近函數的思想（對定理的分析證明以及利用泰勒定理證明相關問題不作要求）。
   3.理解函數的極值概念，熟練掌握用導數判斷函數的單調性和求極值的方法。會求解較簡單的最大值與最小值的應用問題。
4.會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會描繪一些簡單函數的圖形（包括水平和鉛直漸近線）。
5.了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。
6.了解求方程近似解的二分法和切線法的思想。
本章重點：羅爾定理，拉格朗日定理， 洛必達 法則，用導數判斷函數的單調性及極值。
本章難點：泰勒定理。
第四章    不定積分
基本要求：
1.理解原函數概念，理解不定積分的概念及性質。
2.熟練掌握不定積分的基本公式、換元法、分部積分法（對待定系數法分解，不作過高要求）。
本章重點：不定積分的換元積分法、分部積分法。
本章難點： 換元積分法.
第五、六章    定積分及其應用
基本要求：
1.理解定積分的概念和幾何意義（對于利用定積分定義求定積分與求極限不作要求），了解定積分的性質和積分中值定理。
2.理解原函數與不定積分的概念，理解變上限的積分作為其上限的函數及其求導定理，熟練掌握牛頓（Noewton）－萊布尼茲（Leibniz）公式。
3.掌握定積分的換元法與分部積分法。
4.掌握科學技術問題中建立定積分表達式的元素法（微元法），會建立某些簡單幾何量和物理量的積分表達式。
5.了解兩類反常積分及其收斂性的概念。
6.了解定積分的近似計算法（梯形法和拋物線法）的思想。
本章重點：定積分的換元積分法、分部積分法，變上限函數及其求導定理，牛頓 – 萊布尼茲公式。
本章難點： 換元積分法。
第七章   微分方程
基本要求：
1.了解微分方程、解、通解、初始條件和特解等概念。
2.掌握變量可分離的方程及一階線性微分方程的解法。
3.會解齊次方程，并從中領會用變量代換求解微分方程的的思想。
4.會用降階法求下列三種類型的高階方程：  ， 。
5.理解二階線性微分方程解的結構。
6.熟練掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，了解高階常系數齊次線性微分方程的解法。
7.會求自由項形如 ， 的二階常系數非齊次線性微分方程的特解，其中 為實系數 次多項式， 為實數。
8.會通過建立微分方程模型，解決一些簡單的實際問題。
本章重點：
可分離變量及一階線性微分方程的解法，二階常系數齊次線性微分方程解法， 自由項為   的二階常系數非齊次線性微分方程特解的求法。
本章難點：
伯努利方程和全微分方程的解法， 自由項為  的二階常系數非
齊次線性微分方程特解的求法 。
第八章    空間解析幾何與向量代數
基本要求：
1.理解空間直角坐標系,理解向量的概念及其表示。
2.熟練掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積），了解兩個向量垂直、平行的條件。
3.掌握單位向量、方向余弦、向量的坐標表達式以及用坐標表達式進行向量運算的方法。
4.熟練掌握平面的方程和直線的方程及其求法，會利用平面、直線的相互關系解決有關問題。
5.理解二次曲面方程的概念，了解空間曲線方程的概念。
6.了解常用二次曲面的方程及其圖形，了解以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。了解空間曲線的參數方程和一般方程。
7. 了解曲面的交線在坐標平面上的投影批；了解二次曲面的分類。
本章重點：空間直線、平面方程，常用的二次曲面方程。
本章難點：曲面方程。
第九章     多元函數微分學
基本要求：
1.理解二元函數的概念，了解多元函數的概念。
    2.了解二元函數的極限與連續(xù)性的概念，了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質。
    3.理解二元函數偏導數與全微分的概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。
4.了解一元向量值函數及其導數的概念與計算方法。
    5.了解方向導數與梯度的概念及其計算方法。
    6.熟練掌握復合函數一階偏導數的求法，會求復合函數的二階偏導數。
    7.會求隱函數（包括由兩個方程構成的方程組確定的隱函數）的一階偏導數（對求二階偏導數不作要求）；了解曲線的切線和法平面以及曲面的切平面與法線，并會求出它們的方程。
8.理解二元函數極值與條件極值的概念，會求二元函數的極值，了解求條件極值的拉格朗日乘數法，會求解一些比較簡單的最大值與最小值的應用問題。
本章重點：
二元函數偏導數的概念，復合函數一階、二階偏導數的求法，二元函數的極值，拉格朗日乘數法。
本章難點：
復合函數（抽象函數）、隱函數的二階偏導數求法，方向導數與梯度的概念，拉格朗日乘數法。
第十章    重積分
基本要求：
1.理解二重積分的概念，了解三重積分的概念，了解重積分的性質。
2.熟練掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），會計算簡單的三重積分（直角坐標、柱面坐標，球面坐標）。
3.會用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、立體的體積、曲面面積、質量、重心、轉動慣量等）
本章重點：二重積分和三重積分的計算方法，兩類曲線、曲面積分的概念及計算，格林公式，高斯公式。
本章難點：
三重積分在直角坐標系、柱面坐標系、球面坐標系下的計算方法。第二類曲線、曲面積分，高斯公式，斯托克斯公式。
第十一章    曲線積分與曲面積分
基本要求：
1.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系，會計算兩類曲線積分（對于空間曲線積分的計算只作簡單訓練）。
    2.掌握格林（Green）公式，會使用平面線積分與路徑無關的條件，了解第二類平面線積分與路徑無關的物理意義；了解兩類曲面積分的概念及其計算方法。
    4.了解高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式（斯托克斯公式的證明以及利用該公式計算空間曲線積分不作要求）。
    5.了解場、散度、旋度的概念和某些特殊場（無源場、無旋場與調和場），會計算散度與旋度。
6.了解科學技術問題中建立重積分與曲線、曲面積分表達式的元素法（微元法），會建立某些簡單的幾何量和物理量的積分表達式。
第十二章    無窮級數
基本要求：
1.理解無窮級數收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數的基本性質及收斂的必要條件。
2.了解正項級數的比較審斂法以及幾何級數與P-級數的斂散性，掌握正項級數的比值審斂法。
3.了解交錯級數的萊布尼茲定理，會估計交錯級數的截斷誤差。了解絕對收斂與條件收斂的概念及二者的關系。
4.了解函數項級數的收斂域與和函數的概念，掌握簡單冪級數收斂區(qū)間的求法。了解冪級數在其收斂區(qū)間內的一些基本性質（對求冪級數的和函數只要求作簡單訓練）。
5.會利用  ， ， ，  與 的麥克勞林（Maclaurin）展開式將一些簡單的函數展開成冪級數。
6.了解利用將函數展開為冪級數進行近似計算的思想。
7.了解用三角函數逼近周期函數的思想，了解函數展開為傅里葉（Fourier）級數的狄利克雷（Dirichlet）條件，會將定義在 和 上的函數展開為傅里葉級數，會會將定義在 上的函數展開為傅里葉正弦或余弦級數。
本章重點：
幾何級數、  級數的斂散性， 正項級數的比較、比值判別法，交錯級數的萊布尼茲判別法，冪級數收斂半徑及收斂區(qū)間的求法，函數展開成冪級數，簡單的冪級數和函數的求法。
本章難點：正項級數的比較判別法，用間接法將函數展開為冪級數，冪級數的和函數的求法，泰勒級數。  

參考書目：《高等數學》(第七版)，同濟大學應用數學系編，高等教育出版社，2014

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