2021石家莊鐵道大學(xué)數(shù)學(xué)分析研究生考試大綱 正文

《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

一、考試的總體要求
本門課程主要考察學(xué)生對數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)知識(shí)（包括基本概念、基本理論、基本運(yùn)算及方法）、基本思想和方法的掌握程度。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力以及運(yùn)用已掌握的知識(shí)分析和解決問題的能力。
二、考試的內(nèi)容及比例
1、分析基礎(chǔ)(占15%左右)
(1) 了解實(shí)數(shù)公理，理解上確界和下確界的概念及確界原理。掌握絕對值不等式及平均值不等式。
(2)  熟練掌握函數(shù)概念。
(3) 掌握數(shù)列極限的意義、性質(zhì)和運(yùn)算法則，熟練掌握用定義證明數(shù)列極限存在的方法。
(4) 掌握函數(shù)極限的意義、性質(zhì)和運(yùn)算法則， 熟練掌握求函數(shù)極限的方法。
(5) 熟練掌握求數(shù)列極限和函數(shù)極限的常用方法。
(6) 理解無窮大量和無窮小量的意義，了解同階和高（低）階無窮大（小）量的意義。
(7) 熟練掌握函數(shù)在一點(diǎn)及在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)的概念，理解函數(shù)兩類間斷點(diǎn)的意義，掌握初等函數(shù)的連續(xù)性。理解一致連續(xù)和不一致連續(xù)的概念。
(8) 掌握數(shù)列收斂的充分必要條件及函數(shù)極限（當(dāng)自變量趨于有限數(shù)及趨于無窮兩種情形）存在的充分必要條件。
2、 一元微分學(xué)(占20%左右)
(1) 掌握導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義，了解單側(cè)導(dǎo)數(shù)的意義，依據(jù)定義求函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。
(2) 熟練運(yùn)用求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則計(jì)算函數(shù)導(dǎo)數(shù)（包括用參數(shù)式給出的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）、
復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。
(3) 理解函數(shù)微分的概念和函數(shù)可微的充分必要條件，了解一階微分形式不變性，能
用微分作近似計(jì)算。
(4) 理解并掌握微分中值定理（Rolle定理，Lagrange定理和Cauchy中值定理），
能應(yīng)用它們解決函數(shù)零點(diǎn)存在性及不等式證明等問題。
(5) 熟練掌握應(yīng)用L’Hospital法則求函數(shù)極限的方法。
(6) 理解Taylor公式的意義，并熟記五個(gè)基本公式（在x=0點(diǎn)的帶有Peano余項(xiàng)的Taylor公式），能將給定函數(shù)在指定點(diǎn)展成Taylor級(jí)數(shù)，掌握應(yīng)用Taylor公式解決不等式證明、求函數(shù)極限等問題的基本技巧。
(7) 熟練掌握應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、凹凸性的方法，以及求一元函數(shù)極值和最值的方法。了解函數(shù)圖像的畫法。
3、一元積分學(xué)(占20%)
(1) 理解不定積分概念和基本性質(zhì)，熟記基本積分表，理解并掌握換元法和分部積分法的意義和方法，能夠利用它們熟練計(jì)算不復(fù)雜的不定積分。
(2) 了解可積分函數(shù)的意義及其積分法，熟練掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單的根式的有理式的積分方法。
(3) 理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質(zhì)及函數(shù)在有限區(qū)間上可積的充分必要條件，熟練掌握定積分的計(jì)算方法。了解變限定積分的性質(zhì)，掌握積分中值定理。
(4) 熟練應(yīng)用定積分計(jì)算平面曲線弧長、平面圖形面積、立體體積、旋轉(zhuǎn)曲面表面積，并解應(yīng)用于求均勻平面圖形重心坐標(biāo)等簡單物理、力學(xué)問題。
(5) 理解廣義積分及其收斂、絕對收斂和發(fā)散的意義，掌握廣義積分收斂的判定法則。
4、級(jí)數(shù)(占15%左右)
(1) 掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散和絕對收斂的概念、級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件（Cauchy準(zhǔn)則），收斂和絕對收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)以及級(jí)數(shù)加法和乘法的運(yùn)算法則。
(2) 熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別法（比較判別法、D’Alembert判別法、Cauchy根式判別法以及Cauchy積分判別法），掌握一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別方法。能計(jì)算一些特殊數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。
(3) 理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的意義并能確定其收斂域。理解函數(shù)數(shù)列一致收斂以及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的意義，掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法則（Cauchy一致收斂準(zhǔn)則，Weierstrass判別法，Abel判別法，Dirichlet判別法）及一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。
(4) 理解冪級(jí)數(shù)的概念并能確定其收斂半徑。掌握冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則，熟記五個(gè)基本冪級(jí)數(shù)展開式（）。能求出給定函數(shù)在指定點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開式及應(yīng)用冪級(jí)數(shù)運(yùn)算求一些級(jí)數(shù)的和。
(5) 理解函數(shù)Fourier展開式的意義，掌握求Fourier展開式的基本方法。了解Fourier級(jí)數(shù)的收斂性定理、逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)定理以及Parseval等式，并能應(yīng)用Fourier級(jí)數(shù)求某些級(jí)數(shù)的和。
5、多元微分學(xué)(占15%左右)
(1) 理解多元函數(shù)的概念。掌握多元函數(shù)的極限、累次極限和特殊路徑極限的意義，并能根據(jù)定義計(jì)算多元函數(shù)極限，或證明二元極限不存在，能計(jì)算多元函數(shù)的全面極限和累次極限。
(2) 理解多元連續(xù)函數(shù)的概念，掌握其性質(zhì)，并能判斷多元函數(shù)的連續(xù)性。了解多元函數(shù)的一致連續(xù)性。
(3) 理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握其計(jì)算法則，能熟練計(jì)算函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，能計(jì)算函數(shù)在給定方向上的導(dǎo)函數(shù)。
(4) 理解多元函數(shù)的微分的概念，并能判斷函數(shù)的可微性。
(5) 理解隱函數(shù)存在定理和反函數(shù)存在定理，熟練掌握隱函數(shù)的微分法。
(6) 理解Taylor公式的意義，并能求出二元函數(shù)的具有指定階數(shù)的Taylor公式。
(7) 能應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)求空間曲線的切線、法平面及空間曲面的法線和切平面的方程。
(8) 理解多元函數(shù)的極限和最值的意義、極值的必要條件和充分條件，掌握求多元函數(shù)極值、條件極值及在閉區(qū)域上的最值的方法，并用于解決實(shí)際問題。
6、多元積分學(xué)(占15%左右)
(1) 理解重積分的概念、可積的充分必要條件及重積分的性質(zhì)。
(2) 掌握二重積分和三重積分化累次積分的方法以及二重、三重積分的變量代換方法（特別，平面極坐標(biāo)變換，空間柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)變換），能熟練計(jì)算二重和三重積分，并用于計(jì)算平面圖形面積、柱體體積、曲面面積及曲面所圍的立體體積。了解n重（n>3）積分的計(jì)算方法（化為累次積分及變量代換）。
(3) 了解二重、三重廣義積分的意義（無界域情形和不連續(xù)函數(shù)情形），掌握它們的基本判斂法和基本計(jì)算方法。
(4) 了解含參變量的正常積分的基本性質(zhì)（連續(xù)性，積分號(hào)下取極限、求導(dǎo)和求積分），了解含參變量的廣義積分一致收斂性的意義及其基本性質(zhì)（連續(xù)性，積分號(hào)下取極限、求導(dǎo)及求積分），掌握其一致收斂判別法，了解和函數(shù)。
(5) 理解第一型和第二型曲線積分的意義、性質(zhì)、實(shí)際背景及二者的聯(lián)系，能熟練計(jì)算曲線積分。
(6) 理解并掌握Green公式的意義，并能應(yīng)用它計(jì)算曲線積分。
(7) 理解第一型和第二型曲面積分的意義、性質(zhì)、實(shí)際背景及二者的聯(lián)系，能熟練計(jì)算曲面積分。
(8) 理解并掌握Gauss公式和Stokes公式的意義，并能用于曲面積分或曲線積分的計(jì)算。了解空間曲線積分與路徑無關(guān)的充分必要條件及其對曲線積分計(jì)算的應(yīng)用。
(9) 了解場的概念和保守場的意義，能計(jì)算場的梯度、散度和旋度。
 

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