上海財經大學2015年考研數學分析考試內容與要求 正文

考試主要內容和考試要求

（一）極限和函數的連續(xù)性
1、考試主要內容
映射與函數；數列的極限、函數的極限； 連續(xù)函數、函數的連續(xù)性和一致連續(xù)性；R 中的點集、實數系的連續(xù)性；函數和連續(xù)函數的各種性質。
2、考試要求
（1）透徹理解和掌握數列極限，函數極限的概念。掌握并能運用ε-N，ε-X，ε-δ語言處理極限問題。熟練掌握數列極限與函數極限的概念；理解無窮小量的概念及基本性質。
（2）熟練掌握極限的性質及四則運算性質，能夠熟練運用兩面夾原理和熟練掌握兩個重要極限來處理極限問題。。
（3）熟練掌握實數系的基本定理：區(qū)間套定理，確界存在定理，單調有界原理，Bolzano-Weierstrass 定理，Heine-Borel 有限覆蓋定理，Cauchy 收斂準則；并理解相互關系。
（4）熟練掌握函數連續(xù)性的概念及相關的不連續(xù)點類型。能夠運用函數連續(xù)的四則運算與復合運算性質以及相對應的；并理解兩者的相互關系。函數連續(xù)性的定義(點，區(qū)間)，連續(xù)函數的局部性質；理解單側連續(xù)的概念。
（5）熟練掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質：有界性定理、最值定理、介值定理；了解 Contor定理。
（二）一元函數微分學
1、考試主要內容
微分的概念、導數的概念、微分和導數的意義；求導運算；微分運算；微分中值定理；洛必達法則、泰勒展式；導數的應用。
2、考試要求
（1）理解導數和微分的概念及其相互關系，理解導數的幾何意義和物理意義，理解函數可導性與連續(xù)性之間的關系。
（2）熟練掌握函數導數與微分的運算法則，包括高階導數的運算法則、復合函數求導法則，會求分段函數的導數。理解單側導數、可導性與連續(xù)性的關系，掌握導數的幾何應用，微分在近似計算中的應用。
（3）熟練掌握 Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理以及 Taylor 展式。
（4）能夠用導數研究函數的單調性、極值，最值和凸凹性。
（5）掌握用洛必達法則求不定式極限的方法。
（三）一元函數積分學
1、考試主要內容
定積分的概念、性質和微積分基本定理；不定積分和定積分的計算；定積分的應用；廣義積分的概念和廣義積分收斂的判別法。
2、考試要求
（1）理解不定積分的概念。掌握不定積分的基本公式，換元積分法和分部積分法，會求初等函數、有理函數和三角有理函數的積分。
（2）掌握定積分的概念，包括 Darboux 和，上、下積分及可積條件與可積函數類。
（3）掌握定積分的性質，熟練掌握微積分基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理。
（4）能用定積分表達和計算如下幾何量與物理量：平面圖形的面積，平面曲線的弧長，旋轉體的體積與側面積，平行截面面積已知的立體體積，變力做功和物體的質量與質心。
（5）理解廣義積分的概念。熟練掌握判斷廣義積分收斂的比較判別法，Abel 判別法和Dirichlet 判別法；積分第二中值定理。掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；.能用收斂性判別法判斷某些反常積分的收斂性。
（四）無窮級數
1、考試主要內容
數項級數的概念、數項級數斂散的判別法；級數的絕對收斂和條件收斂；函數項級數的收斂和一致收斂及其性質、收斂性的判別；冪級數及其性質、泰勒級數和泰勒展開。
2、考試要求
（1）理解數項級數斂散性的概念，掌握數項級數的基本性質。
（2）熟練掌握正項級數斂散的必要條件，比較判別法，Cauchy 判別法，D‘Alembert判別法與積分判別法。
（3）熟練掌握任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念及其相互關系。熟練掌握交錯級數的 Leibnitz 判別法。掌握絕對收斂級數的性質。
（4）熟練掌握函數項級數一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的 Weierstrass 判別法。Abel 判別法、Cauchy 判別法、Dirichlet 判別法和 Dini 判別法。熟練掌握函數項級數一致收斂性的性質及其應用。
（5）掌握冪級數及其收斂半徑的概念，包括 Cauchy-Hadamard 定理和 Abel 第一定理。
（6）熟練掌握冪級數的性質。能夠將函數展開為冪級數。理解余項公式。
（7）掌握三角函數系的正交性與函數的傅里葉（Fourier）級數的概念與性質；能正確地敘述傅里葉級數收斂性判別法；能將一些函數展開成傅里葉級數并簡單的應用。
（五）多元函數微分學與積分學
1、考試主要內容
多元函數的極限與連續(xù)、全微分和偏導數的概念、重積分的概念及其性質、重積分的計算；曲線積分和曲面積分；反常積分的定義和判別。
2、考試要求
（1）理解平面及 n R 空間點集的基本概念，多元函數的極限，累次極限，連續(xù)性概念；了解閉集套定理，有限覆蓋定理。掌握多元函數極限、連續(xù)與一致連續(xù)概念及其性質，偏導數、方向導數、高階偏導數和全微分等概念以及和連續(xù)關系，會求多元函數的極限、偏導數方向導數、高階偏導數和全微分。
（2）掌握隱函數存在定理。會求隱函數的導數；會求曲線的切線方程，法平面方程，
曲面的切平面方程和法線方程
（3）會求多元函數極值和無條件極值，了解偏導數的幾何應用。
（4）了解可求面積、體積概念。熟練掌握重積分（包括廣義的）、兩類曲線積分和兩類曲面積分的概念與計算，會求圖形的面積，體積及物體的質量與重心。
（5）熟練掌握 Gauss 公式、Green 公式和 Stoks 公式及其應用。
（6）形式微分。
（六）含參變量積分
1、考試主要內容
含參變量積分的概念、性質。
2、考試要求
（1）熟練掌握含參變量常義積分的概念與性質以及應用。
（2）熟練掌握變上限積分。
（3）Euler 積分。

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