學(xué)科、專業(yè)名稱：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)） 

復(fù)試科目：初等幾何研究

考試大綱

考試科目：初等幾何研究考試形式和試卷結(jié)構(gòu)

一、試卷滿分及考試時(shí)間

試卷滿分為 100 分，考試時(shí)間為 120 分鐘。

二、答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

三、試卷題型結(jié)構(gòu)

簡(jiǎn)答題 2 小題，共 20 分。

辨析題 3 小題，共 20 分。

問(wèn)題解決題 3 小題，共 45 分。

論述題 1 小題，共 15 分。

四、考試內(nèi)容

（一）問(wèn)題解決基本內(nèi)容

何謂問(wèn)題;何謂問(wèn)題解決;問(wèn)題解決過(guò)程的分析;問(wèn)題解決中的幾何問(wèn)題;平面幾何問(wèn)題解決過(guò)程。

具體要求

1.掌握幾何問(wèn)題解決教學(xué)的含義。

2.了解幾何問(wèn)題解決教學(xué)的相關(guān)理論。

3.掌握幾何問(wèn)題的分析方法。

（二）幾何問(wèn)題解決教學(xué)的邏輯基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)概念及其產(chǎn)生；數(shù)學(xué)中的定義；判斷與命題；簡(jiǎn)單命題；復(fù)合命題；數(shù)學(xué)命題的四種形式；命題的條件；同一性命題和分?jǐn)嗍矫}；形式邏輯的基本規(guī)律；數(shù)學(xué)中的推理；數(shù)學(xué)中的證明。

具體要求

1.理解并掌握數(shù)學(xué)概念的含義、內(nèi)涵和外延、定義方式及其原則。

2.理解并掌握數(shù)學(xué)命題的含義、類型及其形式。

3.理解并掌握同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。

4.理解并掌握數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)證明。

（三）對(duì)稱與初等幾何變換

合同變換的概念；合同變換的性質(zhì)；平移變換的概念；平移變換的應(yīng)用；旋轉(zhuǎn)變換的概念；旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用；反射變換的概念；反射變換的應(yīng)用；相似變換及其應(yīng)用；位似變換及其應(yīng)用。

具體要求

1.掌握合同變換的含義。

2.掌握平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、反射變換、相似變換與位似變換及其性質(zhì)。

3.熟練應(yīng)用上述變換解決問(wèn)題。

（四）初等幾何問(wèn)題解決策略（上）

線段相等的證明；角的相等的證明；面積相等問(wèn)題的證明；與圓有關(guān)的相等問(wèn)題的證明；如何證明角或線段的和差問(wèn)題；如何證明角或線段的倍分關(guān)系問(wèn)題； 角或線段的不等問(wèn)題的證明；如何證明兩線的平行；如何證明兩線垂直；運(yùn)用幾何知識(shí)求幾何極值問(wèn)題；運(yùn)用代數(shù)方法求幾何極值；運(yùn)用三角方法求幾何極值； 證明定值問(wèn)題；證明三點(diǎn)共線的一般方法；證明三線共點(diǎn)的一般方法；證明四點(diǎn)共圓。

具體要求

1.掌握相等問(wèn)題的證明策略：線段的相等問(wèn)題、角的相等問(wèn)題、面積的相等問(wèn)題、比例的相等問(wèn)題等等。

2.掌握角或線段的和差與倍分問(wèn)題的證明策略。

3.掌握直線的平行與垂直問(wèn)題的證明策略。

4.掌握極值問(wèn)題的證明策略。

5.掌握定值問(wèn)題的證明策略。

6.掌握三點(diǎn)共線和三線共點(diǎn)問(wèn)題的證明策略。

7.掌握四點(diǎn)共圓問(wèn)題的證明策略。

（五）初等幾何問(wèn)題解決策略（下）

比例法；代數(shù)法；三角法；解析法；用其它學(xué)科的方法證明幾何題；微積分證法；矢量證法；用仿射變換證明一些初等幾何題；利用抽屜原則證明初等幾何題。

具體要求

1.掌握數(shù)形結(jié)合的解決問(wèn)題的策略：比例法、代數(shù)法、三角法、解析法。

2.掌握用其它學(xué)科的方法解決初等幾何問(wèn)題的策略。

3.掌握用高等數(shù)學(xué)方法解決初等幾何問(wèn)題的策略：微積分方法；向量證法； 仿射變換方法。

4.掌握用抽屜原則解決一些初等幾何問(wèn)題。

（六）勾股定理的證明具體要求

1.了解勾股定理的歷史。

2.掌握勾股定理的一些典型的證明方法。

3.掌握勾股定理的應(yīng)用。

（七）幾何問(wèn)題解決過(guò)程中邏輯錯(cuò)誤及其分析具體要求

1.了解悖論的含義和特點(diǎn)。

2.掌握對(duì)初等幾何問(wèn)題解決過(guò)程中出現(xiàn)的具有悖論性質(zhì)的邏輯錯(cuò)誤根源的分析方法。

加試 1 科目：常微分方程考試大綱：

考試科目：常微分方程考試形式和試卷結(jié)構(gòu)

一、試卷滿分及考試時(shí)間

試卷滿分為 100 分，考試時(shí)間為 120 分鐘。

二、答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

三、試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)四、試卷題型結(jié)構(gòu)

單選題 5 小題，每小題 4 分，共 20 分

填空題 5 小題，每小題 4 分，共 20 分解答題（包括證明題）6 小題，共 60 分

主要參考書(shū)目：常微分方程（王高雄，朱思銘等編著，高等教育出版社）教材的前五章。

主要考查內(nèi)容：

第一章：基本概念。

第二章，一階微分方程的初等解法（包括奇解）。

第三章，解的存在唯一性定理的分析和應(yīng)用；解的延拓。

第四章，高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論；常系數(shù)線性方程及歐拉方程的求解方法。如，常數(shù)變易法；歐拉待定指數(shù)函數(shù)法；比較系數(shù)法。

第五章，解的基本理論。存在唯一性定理及其應(yīng)用；解的結(jié)構(gòu)理論；基解矩陣與矩陣指數(shù)；基解矩陣的計(jì)算方法。

加試 2 科目：解析幾何考試大綱

科目名稱：解析幾何

一、考試形式和試卷結(jié)構(gòu)

（一）試卷滿分及考試時(shí)間

本試卷滿分為 100 分，考試時(shí)間為 120 分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

（三）試卷題型結(jié)構(gòu)

計(jì)算題 6 個(gè)大題，共 78 分

證明題 2 個(gè)大題，共 22 分

二、考查目標(biāo)（復(fù)習(xí)要求）

考試內(nèi)容包括解析幾何一門課程的前四章內(nèi)容（第一章：矢量與坐標(biāo)、第二章：軌跡與方程、第三章：平面與空間直線、第四章：柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面），要求考生系統(tǒng)掌握基本知識(shí)、基本方法，并能運(yùn)用相關(guān)知識(shí)、理論和方法解決實(shí)際問(wèn)題。

三、考試內(nèi)容概要

第一章：矢量與坐標(biāo)

1.考試內(nèi)容

（1）矢量的概念

（2）矢量的加法

（3）數(shù)量乘矢量

（4）矢量的線性關(guān)系與矢量的分解

（5）標(biāo)架與坐標(biāo)、矢量的坐標(biāo)運(yùn)算

（6）矢量在軸上的射影

（7）兩矢量的數(shù)性積

（8）兩矢量的矢性積

（9）三矢量的混合積

2.考試要求

掌握矢量的概念、各種運(yùn)算，掌握矢量共線、共面的充要條件加法的兩個(gè)法并能運(yùn)用矢量法證明有關(guān)幾何命題。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)

矢量的基本概念、矢量的各種運(yùn)算及線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的判斷，數(shù)性積、

矢性積和混合積的幾何意義，幾何命題轉(zhuǎn)化為矢量間的關(guān)系以及矢量的應(yīng)用。第二章：軌跡與方程

1.考試內(nèi)容

（1）平面曲線的方程、曲面的方程

（2）母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程以及柱面的作圖

（3）空間曲線方程2.考試要求

熟悉空間中一些特殊曲面、曲線的方程，掌握建立曲面、空間曲線（主要是參數(shù)方程）的方法，會(huì)判斷已知方程所表示的軌跡是什么。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)

空間坐標(biāo)系下曲面與空間曲線方程的定義及曲面和空間曲線方程的求法；空間坐標(biāo)系下母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程及曲面和曲線的參數(shù)方程。

第三章：平面與空間直線

1.考試內(nèi)容

（1）平面的方程、平面與點(diǎn)的相關(guān)位置

（2）兩平面的相關(guān)位置、空間直線的方程

（3）直線與平面的相關(guān)位置

（4）空間兩直線的相關(guān)位置

（5）空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置、平面束

2.考試要求

掌握空間坐標(biāo)系下平面、直線方程的各種形式的方程，明確方程中參數(shù)的幾何意義，能根據(jù)決定平面或決定直線的各種條件導(dǎo)出它們的方程，并熟悉平面方程的各種形式的互化與直線各種方程形式的互化；熟練掌握平面與空間直線間各種位置關(guān)系的解析條件，能熟練地根據(jù)平面和直線的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)判別有關(guān)點(diǎn)、平面、直線之間的位置關(guān)系與計(jì)算它們之間的距離和交角。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：空間坐標(biāo)系下平面、直線方程的幾種重要形式；平面與空間直線間各種位置關(guān)系的解析條件；平面與空間直線各種度量關(guān)系的量化公式。

難點(diǎn)：平面（或空間直線）各種形式方程的互化；綜合運(yùn)用位置關(guān)系的解析條件求平面、空間直線方程。

第四章：柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面

1.考試內(nèi)容

（1）柱面

（2）錐面

（3）旋轉(zhuǎn)曲面

（4）橢球面

（5）雙曲面

（6）拋物面

（7）曲面的直紋性

2.考試要求

掌握常見(jiàn)二次曲面的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，牢固掌握坐標(biāo)平面上的曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面方程的求法；掌握柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的定義、方程求法和方程特征；了解常見(jiàn)二次曲面的性質(zhì)和形狀，會(huì)畫(huà)它們的草圖；了解二次曲面的直紋性。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的概念及方程求法；橢球面、雙曲面、拋物面方程的討論，圖形性質(zhì)和形狀的畫(huà)法；坐標(biāo)平面上的曲線繞有關(guān)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，所產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法。

難點(diǎn)：錐面方程的特征及其論證；單葉雙曲面和雙曲拋物面幾何性質(zhì)的分析； 二次曲面直紋性的證明。

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