2022年內(nèi)蒙古師范大學(xué)復(fù)變函數(shù)論碩士研究生復(fù)試考研大綱
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2022年內(nèi)蒙古師范大學(xué)復(fù)變函數(shù)論碩士研究生復(fù)試考研大綱 正文
學(xué)科、專業(yè)名稱:數(shù)學(xué)復(fù)試科目:復(fù)變函數(shù)論
考試大綱
考試科目:復(fù)變函數(shù)
考試形式:閉卷、筆試。
試卷分?jǐn)?shù)及考試時(shí)間:試卷滿分為 100 分,考試時(shí)間為 120 分鐘??荚噧?nèi)容:
1.復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)
掌握復(fù)數(shù)的各種表示方法及四則、乘冪、方根和共軛運(yùn)算。了解區(qū)域的概念, 單連通域、多連通域的區(qū)分。了解曲線、光滑曲線、簡(jiǎn)單閉曲線的定義,會(huì)用復(fù)數(shù)的方程式或不等式表示一些常見(jiàn)的平面曲線與區(qū)域。掌握復(fù)變函數(shù)的概念、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)的定義,理解復(fù)變函數(shù)與兩個(gè)實(shí)二元函數(shù)間的關(guān)系,掌握復(fù)變函數(shù)極限的計(jì)算。
2.解析函數(shù)
理解復(fù)變函數(shù)可微與解析的概念.了解解析函數(shù)的一些簡(jiǎn)單性質(zhì). 熟練掌握復(fù)變函數(shù)解析的判別方法,熟悉函數(shù)解析的充要條件.會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)或區(qū)域上的解析性.了解指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的定義及其主要性質(zhì),了解雙曲函數(shù)的定義,掌握指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的計(jì)算,理解根式函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及其主要性質(zhì),了解反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù),掌握根式函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)的計(jì)算。
3.復(fù)變函數(shù)的積分
理解復(fù)積分的概念.了解復(fù)積分的性質(zhì),理解柯西積分定理及兩種推廣、柯西積分公式及其推論。掌握復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法(參數(shù)方程法、柯西積分定理、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式、牛頓-萊布尼茲公式等),理解 Liouville定理及 Morera 定理,掌握解析函數(shù)的無(wú)窮可微性,掌握刻畫解析函數(shù)的兩個(gè)等價(jià)定理。理解調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)的概念,掌握由調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)構(gòu)成的解析函數(shù)的求法。
4.解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示法
理解復(fù)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散及和的概念,理解解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的 Weierstrass 定理,了解絕對(duì)收斂與條件收斂的概念,掌握復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法,理解冪級(jí)數(shù)收斂圓與收斂半徑的概念及 Able 定理,掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法, 理解泰勒定理,了解冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況,掌握將一個(gè)解析函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)的基本方法,記住一些常用初等函數(shù)的泰勒展式,掌握具有 m 階零點(diǎn)的解析函數(shù)的表達(dá)式,會(huì)判斷解析函數(shù)零點(diǎn)的階,掌握孤立性及唯一性定理的應(yīng)用。
5.解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展式與孤立奇點(diǎn)
理解 Laurent 級(jí)數(shù)的概念,了解 Laurent 級(jí)數(shù)與 Taylor 級(jí)數(shù)的關(guān)系,掌握利用已知的冪級(jí)數(shù)展式去求所需要的 Laurent 展式,理解孤立奇點(diǎn)的三種類型, 了解關(guān)于本性奇點(diǎn)的 Weierstrass 定理 Picard 大定理,掌握孤立奇點(diǎn)的求法, 并能確定它們的類型.掌握孤立奇點(diǎn)∞的類型的判定,了解整函數(shù)的分類. 理解亞純函數(shù)的概念,掌握整函數(shù)的概念。
6.留數(shù)理論及其應(yīng)用
理解留數(shù)的概念及柯西留數(shù)定理,了解函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù),掌握留數(shù)的計(jì)算方法,特別是函數(shù)在一、二階極點(diǎn)處留數(shù)的求法,掌握利用柯西留數(shù)定理計(jì)算復(fù)積分,理解積分路徑上有奇點(diǎn)的積分,掌握用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分,掌握幅角原理和 Rouche 定理的應(yīng)用,特別是利用 Rouche 定理證明根的問(wèn)題。
7.共形映射
理解共形映射的基本性質(zhì),掌握共形映射構(gòu)造及其應(yīng)用。主要參考書目:
《復(fù)變函數(shù)論》(第三版).鐘玉泉編,高等教育出版社,2004 年 1 月.
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