2021南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)分析研究生考試大綱

發(fā)布時(shí)間：2020-11-19 編輯：考研派小莉推薦訪問(wèn)：

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2021南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)分析研究生考試大綱正文

南昌航空大學(xué)2021年研究生入學(xué)考試初試大綱

考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析

考試科目代碼：609

考試形式：筆試

考試時(shí)間：180分鐘

滿分：150分

參考書目：《數(shù)學(xué)分析》上下冊(cè)（第四版），華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2010。

一、試卷結(jié)構(gòu)：

1、計(jì)算題，共6--7小題，共70分；2、證明題、論述題，共5—6題，共80分。

二、考試范圍：

（1）考查知識(shí)點(diǎn)

(一)實(shí)數(shù)集與函數(shù)

1、實(shí)數(shù)：實(shí)數(shù)的概念，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值與不等式;

2、數(shù)集、確界原理：區(qū)間與鄰域，有界集與無(wú)界集，上、下確界，確界原理;

3、函數(shù)概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法(解析法、列表法、和圖象法)，分段函數(shù)；

4、具有某些特征的函數(shù)：有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)，周期函數(shù)。

(二)數(shù)列極限

1、極限概念；

2、收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性，有界性，保號(hào)性，單調(diào)性；

3、數(shù)列極限存在的條件：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則，迫斂性法則，柯西準(zhǔn)則。

(三)函數(shù)極限

1、函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限的概念；

2、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性，局部有界性，局部保號(hào)性，不等式性，迫斂性；

3、函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則；

4、兩個(gè)重要極限；

5、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量，階的比較。

(四)函數(shù)連續(xù)

1、函數(shù)連續(xù)的概念：一點(diǎn)連續(xù)的定義，區(qū)間連續(xù)的定義，單側(cè)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)及其分類；

2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：局部性質(zhì)及運(yùn)算，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性），復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性*；

3、初等函數(shù)的連續(xù)性。

（五）導(dǎo)數(shù)與微分

1、導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

2、求導(dǎo)法則：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、反函數(shù)的求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則、基本求導(dǎo)法則與公式；

3、參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

4、高階導(dǎo)數(shù)；

5、微分：微分的定義、微分的運(yùn)算法則、高階微分、微分的應(yīng)用。

（六）微分中值定理及其應(yīng)用

1、中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

2、幾種特殊類型的不定式極限與洛必達(dá)法則；

3、泰勒公式；

4、函數(shù)的極值、最值；

5、函數(shù)凹凸性與拐點(diǎn)。

（七）實(shí)數(shù)完備性定理

1、實(shí)數(shù)完備性的基本定理：閉區(qū)間套定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理；

2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)：有界性定理、最大小值性定理、介值定理的、一致連續(xù)性定理。

（八）不定積分

1、不定積分概念與基本積分公式；

2、換元積分法與分部積分法；

3、有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分。

（九）定積分

1、定積分的概念：概念的引入、函數(shù)可積的必要條件；

2、微積分學(xué)基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；

3、可積性條件：可積的必要條件和充要條件、可積函數(shù)類(連續(xù)函數(shù)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù))；

4、定積分的性質(zhì)：定積分的基本性質(zhì)、積分中值定理；

5、微積分基本定理—定積分計(jì)算：變限積分與原函數(shù)的存在性、換元積分與分部積分、泰勒公式的積分型余項(xiàng)。

（十）定積分的應(yīng)用

1、定積分的幾何應(yīng)用：平面圖形的面積、微元法、已知截面面積函數(shù)的立體體積、平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率、旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

（十一）反常積分

1、反常積分的概念；

2、無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂準(zhǔn)則；

3、瑕積分的性質(zhì)與收斂準(zhǔn)則。

（十二）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、級(jí)數(shù)的斂散性：無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，發(fā)散等概念，柯西準(zhǔn)則，收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)；

2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)：比較原理，達(dá)朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法；

3、一般項(xiàng)級(jí)數(shù)：交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茲判別法，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)及其性質(zhì)，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

（十三）函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準(zhǔn)則，優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；

2、一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)（連續(xù)性、可積性、可微性）。

（十四）冪級(jí)數(shù)

1、冪級(jí)數(shù)：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級(jí)數(shù)的一致收斂性，冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)；

2、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開與泰勒定理。

（十五）傅里葉級(jí)數(shù)

1、傅里葉級(jí)數(shù)：三角級(jí)數(shù)與正交函數(shù)系、傅里葉級(jí)數(shù)、收斂定理；

2、以2L為周期的函數(shù)的展開式；

3、收斂定理的證明。

（十六）多元函數(shù)的極限與連續(xù)

1、平面點(diǎn)集與多元函數(shù)的概念；

2、二元函數(shù)的極限、累次極限；

3、二元函數(shù)的連續(xù)性概念、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及初等函數(shù)連續(xù)性。

（十七）多元函數(shù)微分學(xué)

1、可微性：偏導(dǎo)數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性；全微分概念；連續(xù)性與可微性，偏導(dǎo)數(shù)與可微性；

2、多元復(fù)合函數(shù)微分法及求導(dǎo)公式；

3、方向?qū)?shù)與梯度；

4、泰勒定理與極值。

（十八）隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

1、隱函數(shù)：隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)的定理，隱函數(shù)求導(dǎo)舉例；

2、隱函數(shù)組：隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，雅可比行列式；

3、幾何應(yīng)用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線；

4、條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。

（十九）含參量積分

1、含參量正常積分；

2、含參量反常積分：含參變量反常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準(zhǔn)則，與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的關(guān)系，一致收斂的M判別法)，含參變量反常積分的性質(zhì)。

（二十）曲線積分

1、第一型曲線積分的定義和計(jì)算；

2、第二型曲線積分的定義和計(jì)算、兩類曲線積分的聯(lián)系。

（二十一）重積分

1、二重積分的概念：平面圖形的面積、二重積分的定義及其存在性、二重積分的性質(zhì)；

2、直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算；

3、格林公式，曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性；

4、二重積分的變量變換，極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；

5、三重積分：化三重積分為累次積分,換元法（一般變換，柱面坐標(biāo)變換，球坐標(biāo)變換）；

6、重積分的應(yīng)用。

（二十二）曲面積分

1、第一型曲面積分的概念和計(jì)算；

2、第二型曲面積分，兩類曲面積分的聯(lián)系；

3、高斯公式與斯托克斯公式。

（二十三）向量函數(shù)微分學(xué)

1、n維歐氏空間與向量函數(shù)；

2、向量函數(shù)的微分;

3、反函數(shù)定理和隱函數(shù)定理。

（2）考查重點(diǎn)

(一)實(shí)數(shù)集與函數(shù)

實(shí)數(shù)的性質(zhì)，上、下確界，確界原理。

(二)數(shù)列極限

極限概念，收斂數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列極限存在的條件。

(三)函數(shù)極限

函數(shù)極限的概念，函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)極限存在的條件，兩個(gè)重要極限。

(四)函數(shù)連續(xù)

函數(shù)連續(xù)的概念，連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

（五）導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)概念，求導(dǎo)法則，微分的定義，微分的運(yùn)算法則。

（六）微分中值定理及其應(yīng)用

中值定理，不定式極限與洛必達(dá)法則，函數(shù)的極值、最值，函數(shù)凹凸性與拐點(diǎn)。

（七）實(shí)數(shù)完備性定理

有界性定理、最大小值性定理、介值定理的、一致連續(xù)性定理。

（八）不定積分

不定積分概念與基本積分公式，換元積分法與分部積分法。

（九）定積分

定積分的概念，牛頓-萊布尼茲公式，定積分的性質(zhì)。

（十）定積分的應(yīng)用

平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數(shù)的立體體積，平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率，旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

（十一）反常積分

反常積分的概念，無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂準(zhǔn)則，瑕積分的性質(zhì)與收斂準(zhǔn)則。

（十二）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

級(jí)數(shù)的斂散性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茲判別法，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)及其性質(zhì)。

（十三）函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

一致收斂性及一致收斂判別法，一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)。

（十四）冪級(jí)數(shù)

收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級(jí)數(shù)的一致收斂性，冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開與泰勒定理。

（十五）傅里葉級(jí)數(shù)

三角級(jí)數(shù)與正交函數(shù)系，傅里葉級(jí)數(shù)。

（十六）多元函數(shù)的極限與連續(xù)

二元函數(shù)的極限，二元函數(shù)的連續(xù)性概念。

（十七）多元函數(shù)微分學(xué)

偏導(dǎo)數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性，全微分概念，連續(xù)性與可微性，偏導(dǎo)數(shù)與可微性，多元復(fù)合函數(shù)微分法及求導(dǎo)公式。

（十八）隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)的定理，隱函數(shù)求導(dǎo)，條件極值。

（十九）含參量積分

含參量正常積分，含參量反常積分?jǐn)可⑿约捌湫再|(zhì)。

（二十）曲線積分

第一型曲線積分的定義和計(jì)算，第二型曲線積分的定義和計(jì)算，兩類曲線積分的聯(lián)系。

（二十一）重積分

二重積分的定義及其存在性，二重積分的性質(zhì)，直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算，格林公式，極坐標(biāo)計(jì)算二重積分，化三重積分為累次積分。

（二十二）曲面積分

第一型曲面積分的概念和計(jì)算，第二型曲面積分，兩類曲面積分的聯(lián)系，高斯公式與斯托克斯公式。

（二十三）向量函數(shù)微分學(xué)

n維歐氏空間與向量函數(shù)。

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