2022年黑龍江大學(xué)自命題數(shù)學(xué)一碩士研究生考研大綱及參考書目 正文

考試科目名稱：自命題數(shù)學(xué)一   考試科目代碼：[601]
一、考試要求
具有高中代數(shù)，平面解析幾何，立體幾何等基本知識(shí)。要求考生掌握一元函數(shù)微積分及其應(yīng)用；常微分方程；空間解析幾何；多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用；級(jí)數(shù)的一般理論及綜合運(yùn)算能力。
二、考試內(nèi)容
第一章 函數(shù)與極限
§1 映射與函數(shù)
集合，映射，函數(shù)；
§2 數(shù)列極限
數(shù)列極限的定義，收斂數(shù)列的性質(zhì)；
§3 函數(shù)的極限
函數(shù)的極限的定義，函數(shù)極限的性質(zhì)；
§4 無窮小與無窮大
無窮小，無窮大；
§5 極限運(yùn)算法則
§6 極限存在準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限
§7 無窮小的比較
§8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)
函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)的間斷點(diǎn)；
§9 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性
連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性；
§10 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
有界性與最大值最小值定理，零點(diǎn)定理與介值定理；
第二章 導(dǎo)數(shù)與微分
§1導(dǎo)數(shù)的概念
引例，導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系；
§2函數(shù)的求導(dǎo)法則
函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則，反函數(shù)的求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式；
§3高階導(dǎo)數(shù)
§4隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率
隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，相關(guān)變化率；
§5函數(shù)的微分
微分的定義，微分的幾何意義，基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則，微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用；
第三章　微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
§1微分中值定理
Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理；
§2 洛必達(dá)法則
§3 泰勒公式
§4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性
函數(shù)單調(diào)性的判定法，曲線的凹凸性與拐點(diǎn)；
§5 函數(shù)的極值與最大值最小值
函數(shù)的極值及其求法，最大值最小值問題；
§6 函數(shù)圖形的描繪
§7 曲率
弧微分，曲率及其計(jì)算公式，曲率圓與曲率半徑；
§8 方程的近似解
二分法，切線法；
第四章　不定積分
§1 不定積分的概念與性質(zhì)
原函數(shù)與不定積分的概念，基本積分表，不定積分的性質(zhì)；
§2 換元積分法
第一類換元法，第二類換元法；
§3 分部積分法
§4 有理函數(shù)的積分
有理函數(shù)的積分，可化為有理函數(shù)的積分舉例；
§5 積分表的使用
第五章　定積分
§1 定積分的概念與性質(zhì)
定積分問題舉例，定積分定義，定積分的近似計(jì)算，定積分的性質(zhì)；
§2 微積分基本公式
變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系，積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，Newton—Leibniz公式；
§3 定積分的換元法和分部積分法
定積分的換元法，定積分的分部積分法；
§4 反常積分
無窮限的反常積分，無界函數(shù)的反常積分；
第六章　定積分的應(yīng)用：
§1 定積分的元素法
§2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用
平面圖形的面積，體積，平面曲線的弧長(zhǎng)；
§3 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用
變力沿直線所作的功，水壓力，引力；
第七章 微分方程
§1 微分方程的基本概念
§2 可分離變量的微分方程
§3 齊次方程
齊次方程；
§4 一階線性微分方程
線性方程；
§5 可降階的高階微分方程
型微分方程， 型微分方程， 型微分方程；
§6 高階線性微分方程
二節(jié)線性微分方程舉例，線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)；
§7常系數(shù)齊次線性微分方程
§8常系數(shù)非齊次線性微分方程
型，型；
第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)
§1 向量及其線性運(yùn)算
向量概念，向量的線性運(yùn)算，空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算，向量的模、方向角、投影；
§2 數(shù)量積 向量積
兩向量的數(shù)量積、兩向量的向量積；
§3 曲面及其方程
曲面方程的概念，旋轉(zhuǎn)曲面，柱面，二次曲面；
§4 空間曲線及其方程
空間曲線的一般方程，空間曲線的參數(shù)方程，空間曲線在坐標(biāo)面上的投影；
§5 平面及其方程
平面的點(diǎn)法式方程，平面的一般方程，兩平面的夾角；
§6 空間直線及其方程
空間直線的一般方程，空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程，兩直線的夾角，直線與平面的夾角，雜例；
第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用
§1 多元函數(shù)的基本概念
平面點(diǎn)集、多元函數(shù)的概念，多元函數(shù)的極限，多元函數(shù)的連續(xù)性；
§2 偏導(dǎo)數(shù)
偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法，高階偏導(dǎo)數(shù)；
§3 全微分
全微分的定義；
§4 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則
§5 隱函數(shù)求導(dǎo)公式
一個(gè)方程的情形，方程組的情形；
§6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用
一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線；
§7 方向?qū)?shù)與梯度
方向?qū)?shù)、梯度；
§8 多元函數(shù)的極值及其求法
多元函數(shù)的極值及最大值、最小值，條件極值，拉格朗日乘數(shù)法；
第十章 重積分
§1 二重積分的概念與性質(zhì)
二重積分的概念，二重積分的性質(zhì)；
§2 二重積分計(jì)算法
利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分，利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分；
§3 三重積分
三重積分的概念，三重積分的計(jì)算；
§4 重積分的應(yīng)用
曲面的面積，質(zhì)心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，引力；
第十一章 曲線積分與曲面積分
§1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分
對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)，對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法；
§2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分
對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)，對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法，兩類曲線積分之間的聯(lián)系；
§3 Green（格林）公式及其應(yīng)用
Green公式，平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件，二元函數(shù)的全微分求積；
§4 對(duì)面積的曲面積分
對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)，對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法；
§5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分
對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)，對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法，兩類曲面積分之間的聯(lián)系；
§6 高斯公式
高斯公式；
§7  斯托克斯公式
斯托克斯公式；
第十二章 無窮級(jí)數(shù)
§1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)
常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)；
§2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法
正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法，絕對(duì)收斂與條件收斂；
§3 冪級(jí)數(shù)
函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，冪級(jí)數(shù)及其收斂性，冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算；
§4 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)
§5函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用
近似計(jì)算、微分方程的冪級(jí)數(shù)解法、歐拉公式；
§7 傅里葉級(jí)數(shù)
三角級(jí)數(shù) 三角函數(shù)系的正交性，函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)，正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)；
§8 一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)
周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)；
三、試卷結(jié)構(gòu)
1．考試時(shí)間：180分鐘
2．試卷分值：150分
3．題型結(jié)構(gòu)：（1）選擇題
（2）填空
（3）大題（包括證明題、計(jì)算題）
四、參考書目
《高等數(shù)學(xué)》（第六版），同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社。

黑龍江大學(xué)

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