華北水利水電大學(xué)

2021 年碩士研究生入學(xué)考試初試科目考試大綱

高等代數(shù)（科目代碼：933）考試大綱

考試形式和試卷結(jié)構(gòu)

一、

試卷分值和考試時(shí)間

考試時(shí)間 180 分鐘（3 個(gè)小時(shí)）,試卷滿分 150 分。

二、

考試基本要求

本大綱適用于報(bào)考華北水利水電大學(xué)數(shù)學(xué)一級(jí)學(xué)科下設(shè)的應(yīng)用數(shù)學(xué)培養(yǎng)方

向的學(xué)術(shù)型碩士研究生入學(xué)考試。

《高等代數(shù)》是為數(shù)學(xué)一級(jí)學(xué)科各培養(yǎng)方向的碩士研究生而設(shè)置的具有選拔

功能的水平考試。該科目包括多項(xiàng)式理論、線性代數(shù)的代數(shù)理論（行列式、線性

方程組、矩陣、二次型）及線性代數(shù)的幾何理論（線性空間、線性變換、歐氏空

間）等部分內(nèi)容，要求學(xué)生掌握各部分內(nèi)容的基本概念和基本理論，具有一定的

抽象思維、邏輯推理及運(yùn)算能力。

三、

試卷內(nèi)容及結(jié)構(gòu)

1. 第一部分（多項(xiàng)式），約 20 分

（1）一元多項(xiàng)式的定義及運(yùn)算、性質(zhì)；

（2）多項(xiàng)式的帶余除法，多項(xiàng)式整除的概念和性質(zhì)；

（3）多項(xiàng)式的最大公因式的概念、性質(zhì)、求法，多項(xiàng)式互素的概念和性質(zhì)；

（4）不可約多項(xiàng)式的概念和性質(zhì)，多項(xiàng)式的因式分解唯一性定理；

（5）多項(xiàng)式的重因式（重根）的概念，多項(xiàng)式有無(wú)重因式（重根）的判別

方法；

（6）代數(shù)基本定理，復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式因式分解定理；

（7）有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法，Eisenstein 判別法。

2. 第二部分（行列式、線性方程組、矩陣、二次型），約 60 分

（1）排列的相關(guān)概念，排列的奇偶性與對(duì)換的關(guān)系；

（2）n 階行列式的概念，元素的余子式、代數(shù)余子式等概念；

（3）行列式的性質(zhì)和計(jì)算方法；（4）克萊姆(Cramer)法則。

（5）初等行變換求解線性方程組；

（6）n 維向量空間，向量的線性組合與線性表示，向量組線性相關(guān)、線性無(wú)

關(guān)的概念、性質(zhì)及判別；

（7）向量組的等價(jià)，向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩；

（8）矩陣的秩的概念，矩陣的秩與其行（列）向量組的秩及其子式之間的

關(guān)系，求矩陣的秩的方法；

（9）齊次線性方程組有非零解(非齊次線性方程組有解)的充分必要條件；

（10）線性方程組解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)；

（11）齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，齊次線性方程組

的基礎(chǔ)解系和通解的求法。

（12）矩陣的基本運(yùn)算及規(guī)律，幾種特殊矩陣；

（13）矩陣乘積的秩與行列式；

（14）逆矩陣的概念和性質(zhì)，伴隨矩陣及其性質(zhì)，用伴隨矩陣求逆；

（15）矩陣的初等變換與初等矩陣，矩陣的等價(jià)；用矩陣初等變換求矩陣的

逆

（16）分塊矩陣的運(yùn)算，準(zhǔn)對(duì)角矩陣；

（17）二次型及其矩陣表示，二次型的秩、標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形；矩陣的合同；

（18）化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法（配方法、初等變換法，正交變換法）；

（19）復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形的唯一性，慣性定理，對(duì)稱矩陣在

復(fù)（實(shí)）數(shù)域上是否合同的判定。

（20）正定二次型、正定矩陣的概念及其判定條件；

3. 第三部分（線性空間、線性變換、歐氏空間）約 70 分

（1）線性空間的定義及性質(zhì)，線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)等

概念；

（2）線性空間的基、維數(shù)、坐標(biāo)的概念，基變換與坐標(biāo)變換；

（3）子空間的概念和判別方法，向量組生成的子空間，基擴(kuò)張定理；

（4）子空間的交與和的定義及性質(zhì)，維數(shù)公式；

（5）子空間的直和概念以及和為直和的充要條件，空間分解定理；（6）線性空間同構(gòu)的定義、性質(zhì)，兩個(gè)有限維空間同構(gòu)的充要條件；

（7）線性變換的概念，運(yùn)算及性質(zhì)；

（8）線性變換的矩陣，相似矩陣的概念和性質(zhì)；

（9）線性變換（矩陣）的特征值、特征向量；

（10）線性變換（矩陣）可對(duì)角化的充要條件；

（11）線性變換的值域、核、秩、零度的概念及求法；

（12）不變子空間的概念及性質(zhì)，不變子空間與線性變換矩陣化簡(jiǎn)之間的關(guān)

系；

（13）內(nèi)積與歐氏空間的定義和性質(zhì)，向量的長(zhǎng)度、夾角、距離等概念；

（14）歐氏空間的度量矩陣，標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念及求法；

（15）正交子空間與正交補(bǔ)，正交與直和的關(guān)系；

（16）正交矩陣的定義及性質(zhì)，正交變換定義及其等價(jià)條件；

（17）對(duì)稱變換與實(shí)對(duì)稱矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化。

四、試卷題型結(jié)構(gòu)

主要題型包括：?jiǎn)芜x題（5 個(gè)，每題 3 分），填空題（5 個(gè)，每題 3 分），計(jì)

算題（60 分），證明題（60 分），試卷滿分為 150 分。

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