2022中國科學(xué)院大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計碩士研究生考研考試大綱 正文

本《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》考試大綱適用于中國科學(xué)院大學(xué)非數(shù)學(xué)類的碩士研究生入學(xué)考試。概率統(tǒng)計是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，在物理、化學(xué)、生物、計算機科學(xué)等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用?？荚嚨闹饕獌?nèi)容有以下幾個部分：
概率統(tǒng)計中的基本概念隨機變量及其分布
隨機變量的數(shù)學(xué)特征及特征函數(shù)
獨立隨機變量和的中心極限定理及大數(shù)定律假設(shè)檢驗
點估計及區(qū)間估計簡單線性回歸模型
要求考生對基本概念有深入的理解，能計算一些常見分布的期望、方差，了解假設(shè)檢驗、點估計及區(qū)間估計的統(tǒng)計意義，能解決一些經(jīng)典模型的檢驗問題、區(qū)間估計及點估計。最后，能理解大數(shù)定律及中心極限定理。
一、 考試內(nèi)容
（一）基本概念
1.樣本、樣本觀測值
2.統(tǒng)計數(shù)據(jù)的直觀描述方法：如干葉法、直方圖
3.統(tǒng)計數(shù)據(jù)的數(shù)字描述：樣本均值、樣本方差、中位數(shù)事件的獨立性、樣本空間、事件
4.概率、條件概率、Bayes 公式
5.古典概型
（二）離散隨機變量
1.離散隨機變量的定義
2.經(jīng)典的離散隨機變量的分布
a.二項分布
b.幾何分布
c.泊松分布
d.超幾何分布
3.離散隨機變量的期望、公差
4.離散隨機變量的特征函數(shù)
5.離散隨機變量相互獨立的概念
6.二維離散隨機變量的聯(lián)合分布、條件分布、邊緣分布及二個離散隨機變量的相關(guān)系數(shù)
（三）連續(xù)隨機變量
1.連續(xù)隨機變量的概念
2.密度函數(shù)
3.分布函數(shù)
4.常見的連續(xù)分布
a.正態(tài)分布

b.指數(shù)分布
c.均勻分布
d.t 分布
e.?2 分布
5.連續(xù)隨機變量的期望、方差
6.連續(xù)隨機變量獨立的定義
7.二維連續(xù)隨機變量的聯(lián)合密度、條件密度、邊緣分布及二個連續(xù)隨機變量的相關(guān)系數(shù)
8.連續(xù)隨機變量的特征函數(shù)
（四）獨立隨機變量和的中心極限定理和大數(shù)定律
1.依概率收斂
2.以概率 1 收斂（或幾乎處處收斂）
3.依分布收斂
4.伯努利大數(shù)定律
5.利莫弗-拉普拉斯中心極限定理
6.辛欽大數(shù)定律
7.萊維-林德伯格中心極限定理
（五）點估計
1.無偏估計，克拉美-勞不等式
2.矩估計
3.極大似然估計
（六）區(qū)間估計
1.置信區(qū)間的概念
2.一個正態(tài)總體的期望的置信區(qū)間
3.大樣本區(qū)間估計
4.兩個正態(tài)總體期望之差的置信區(qū)間（方差已知）
（七）假設(shè)檢驗
1.檢驗問題的基本要素：第一類錯誤的概率、第二類錯誤的概率、檢驗的功效、功效函數(shù)、檢驗的拒絕域、原假設(shè)、備擇假設(shè)
2.一個正態(tài)總體的期望的檢驗問題
3.大樣本檢驗
4.基于成對數(shù)據(jù)的檢驗（t 檢驗）
5.兩個正態(tài)總體期望之差的檢驗
（八）簡單線性回歸模型
1.簡單線性回歸模型定義
2.回歸線的斜率的最小二乘估計
3.回歸線的截距的最小二乘估計
4.隨機誤差（隨機標(biāo)準(zhǔn)差）的估計二、 考試要求
（一）基本概念
1.理解樣本、樣本觀測值的概念
2.了解并能運用統(tǒng)計數(shù)據(jù)的直觀描述方法如：干葉法、直方圖
3.理解樣本均值、樣本方差及中位數(shù)的概念并能運用相關(guān)公式進(jìn)行計算
4.掌握如下概念：概率、樣本空間、事件、事件的獨立性、條件概率，理解并能靈活運用 Bayes  公式
5.理解古典概型的定義并能熟練解決這方面的問題
（二）離散隨機變量
1.理解離散隨機變量的定義
2.理解如下經(jīng)典離散分布所產(chǎn)生的模型
a.二項分布
b.幾何分布
c.泊松分布
d.超幾何分布
能熟練計算上述分布的期望、方差，能熟練應(yīng)用上述分布求出相應(yīng)事件的概率
3.了解離散隨機變量的特征函數(shù)的定義和性質(zhì)
4.了解兩個離散隨機變量相互獨立的概念
5.理解二維離散隨機變量的聯(lián)合分布、條件分布、邊緣分布及兩個離散隨機變量的相關(guān)系數(shù)的概念并能熟練運用相關(guān)的公式解決問題
（三）連續(xù)隨機變量
1.理解連續(xù)隨機變量的概念
2.理解密度與分布的概念及其關(guān)系
3.熟悉如下常用連續(xù)分布
a.正態(tài)分布
b.指數(shù)分布
c.均勻分布
d.t 分布
e.?2 分布
4.了解連續(xù)分布的期望、方差的概念
5.了解有限個連續(xù)隨機變量相互獨立的概念
6.理解二維連續(xù)隨機變量的聯(lián)合密度、條件密度、邊緣分布及二個連續(xù)隨機變量的相關(guān)系數(shù)并能運用相關(guān)公式進(jìn)行計算
7.了解連續(xù)隨機變量的特征函數(shù)的概念及性質(zhì)
（四）獨立隨機變量和的中心極限定理和大數(shù)定律
1.了解依概率收斂、以概率 1 收斂（或幾乎處處收斂）、依分布收斂的定義，了解上述收斂性的關(guān)系
2.理解并掌握伯努利大數(shù)定律和利莫弗-拉普拉斯中心極限定理
3.了解辛欽大數(shù)定律、萊維-林德伯格中心極限定理
（五）點估計
1.理解無偏估計、矩估計、極大似然估計
2.能夠計算參數(shù)的矩估計、極大似然估計
（六）區(qū)間估計
1.理解置信區(qū)間的概念
2.能夠計算正態(tài)總體的期望的置信區(qū)間（包括方差已知、方差未知兩種情況）
3.在樣本容量充分大的條件下，能夠計算近似置信區(qū)間
4.能夠計算兩個正態(tài)總體的期望之差的置信區(qū)間（方差已知）
（七）假設(shè)檢驗
1.理解以下概念：第一、二類錯誤的概率、檢驗的功效、功效函數(shù)、檢驗的拒絕域、檢驗的原假設(shè)、備擇假設(shè)
2.能給出一個正態(tài)總體的期望的檢驗的拒絕域（包括方差已知、方差未知）
3.能用大樣本方法求拒絕域
4.能給出基于成對數(shù)據(jù)的檢驗問題的拒絕域
（八）簡單線性回歸模型
1.理解簡單線性回歸模型定義，能寫出模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式
2.能計算回歸線的斜率、截距的最小二乘估計
3.了解隨機誤差（隨機標(biāo)準(zhǔn)差）的估計
三、 參考書
1.陳希孺，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，科學(xué)出版社，中國科技大學(xué)出版社，1999
2.盛驟，謝式千，潘承毅，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，高等教育出版社（第三版），2001
3.劉光祖，概率論與應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計，高等教育出版社，2000

中國科學(xué)院大學(xué)

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