2021中國科學(xué)院大學(xué)高等數(shù)學(xué)（丙）專業(yè)研究生考試大綱 正文

中國科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試
高等數(shù)學(xué)（丙）考試大綱
 
考 試 性 質(zhì)
中國科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)高等數(shù)學(xué)（丙）考試是為招收理學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生而設(shè)置的選拔考試。它的主要目的是測試考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，包括對高等數(shù)學(xué)各項內(nèi)容的掌握程度和應(yīng)用相關(guān)知識解決問題的能力?？荚噷ο鬄閰⒓尤珖T士研究生入學(xué)考試、并報考化學(xué)、生態(tài)學(xué)等專業(yè)的考生。
二、考試的基本要求
要求考生系統(tǒng)地理解高等數(shù)學(xué)的基本概念和基本理論，掌握高等數(shù)學(xué)的基本方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)運算能力和綜合運用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。
三、考試方法和考試時間
高等數(shù)學(xué)（丙）考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。
四、考試內(nèi)容和考試要求
（一）函數(shù)、極限、連續(xù)
考試內(nèi)容
函數(shù)的概念及表示法  函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性  復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)  基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形
數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念  無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系  無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較  極限的四則運算  極限存在的單調(diào)有界準則和夾逼準則  兩個重要極限：
，，()。
函數(shù)連續(xù)的概念  函數(shù)間斷點的類型  初等函數(shù)的連續(xù)性  閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)  
考試要求
1. 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。
2. 理解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。掌握判斷函數(shù)這些性質(zhì)的方法。
3. 理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。會求給定函數(shù)的復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)。
4. 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。
5. 理解極限的概念（包括數(shù)列極限和函數(shù)極限），理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。
6. 掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則，會運用它們進行一些基本的判斷和計算。
7. 掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限。掌握利用兩個重要極限求極限的方法。
8. 理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。
9. 理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。
10. 掌握連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，熟悉閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理等），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。
（二）一元函數(shù)微分學(xué)
考試內(nèi)容
導(dǎo)數(shù)的概念  導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義  函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系  平面曲線的切線和法線  基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)  導(dǎo)數(shù)的四則運算  復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法  參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法  高階導(dǎo)數(shù)的概念  高階導(dǎo)數(shù)的求法  微分的概念和微分的幾何意義  函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系  微分的運算法則及函數(shù)微分的求法  一階微分形式的不變性  微分在近似計算中的應(yīng)用  微分中值定理  洛必達（L’Hospital）法則  泰勒(Taylor)公式  函數(shù)的極值  函數(shù)最大值和最小值  函數(shù)單調(diào)性  函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線  函數(shù)圖形的描繪  
考試要求
1. 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，掌握函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。
2. 掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本的求導(dǎo)方法。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。
3. 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。
4. 會求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。
5. 會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)
6. 會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
7. 理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒定理，掌握這四個定理的簡單應(yīng)用。
8. 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。
9. 會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。
10. 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。
（三）一元函數(shù)積分學(xué)
考試內(nèi)容
原函數(shù)和不定積分的概念  不定積分的基本性質(zhì)  基本積分公式  定積分的概念和基本性質(zhì)  定積分中值定理  變上限定積分定義的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)  牛頓－萊布尼茨（Newton－Leibniz）公式  不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法  有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分  廣義積分（無窮限積分、瑕積分）  定積分的應(yīng)用
考試要求
1. 理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念。
2. 熟練掌握不定積分的基本公式，熟練掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理。掌握牛頓－萊布尼茨公式。熟練掌握不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法。
3. 會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。
4. 理解變上限定積分定義的函數(shù)，會求它的導(dǎo)數(shù)。
5. 理解廣義積分（無窮限積分、瑕積分）的概念，掌握無窮限積分、瑕積分的收斂性判別法，會計算一些簡單的廣義積分。
6. 會利用定積分計算平面圖形的面積．旋轉(zhuǎn)體的體積和函數(shù)的平均值。
（四）多元函數(shù)微積分學(xué)
考試內(nèi)容
多元函數(shù)的概念  二元函數(shù)的幾何意義  二元函數(shù)的極限和連續(xù)  有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)  多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念及求法  多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法  二階偏導(dǎo)數(shù)的求法  多元函數(shù)的極值和條件極值  拉格朗日乘數(shù)法  多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用  全微分在近似計算中的應(yīng)用 二重積分的概念及性質(zhì)  二重積分的計算和應(yīng)用  
考試要求
1. 理解多元函數(shù)的概念、理解二元函數(shù)的幾何意義。
2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念及基本運算性質(zhì)，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
3. 理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會求偏導(dǎo)數(shù)和全微分，掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求法。
3. 理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值、最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題。
4. 了解全微分在近似計算中的應(yīng)用。
5.了解二重積分的概念與基本性質(zhì)，掌握二重積分的計算方法（直角坐標．極坐標）。
（五）無窮級數(shù)
考試內(nèi)容
常數(shù)項級數(shù)及其收斂與發(fā)散的概念  收斂級數(shù)的和的概念  級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件  幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性  正項級數(shù)收斂性的判別法  交錯級數(shù)與萊布尼茨定理  任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂  函數(shù)項級數(shù)的收斂域、和函數(shù)的概念  冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域  冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)  簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法  泰勒級數(shù)  初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式  函數(shù)的冪級數(shù)展開式在近似計算中的應(yīng)用
考試要求
1. 理解常數(shù)項級數(shù)的收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件
2. 掌握幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂與發(fā)散情況。
3. 掌握正項級數(shù)收斂性的各種判別法。
4. 了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系，掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。
5. 了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。
6. 理解冪級數(shù)的收斂域、收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域的求法。
7. 了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項微分和逐項積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。
8. 掌握一些常見函數(shù)如e^x、sin x、cos x、ln(1+x)和(1+x)^α等的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。
9. 會利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式進行近似計算。
（六）常微分方程
考試內(nèi)容
常微分方程的基本概念  變量可分離的微分方程  齊次微分方程  一階線性微分方程  伯努利（Bernoulli）方程  全微分方程  可用簡單的變量代換求解的某些微分方程  可降價的高階微分方程  線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理  二階常系數(shù)齊次線性微分方程  二階常系數(shù)非齊次線性微分方程  微分方程的簡單應(yīng)用
考試要求
1. 了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。
2. 掌握變量可分離的微分方程的解法，掌握解一階線性微分方程的常數(shù)變易法。
3. 會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換求解某些微分方程。
4. 會用降階法解下列方程：y⁽ⁿ⁾ =f(x)，y″ =f(x，y′ )和y″ =f(y，y′ )
5. 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。了解解二階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法。
6. 掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。
7. 會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。
8 會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題。
（七）行列式
考試內(nèi)容
行列式的概念和基本性質(zhì)　行列式按行（列）展開定理
考試要求
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)．
2.會應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開定理計算行列式．
（八）矩陣
考試內(nèi)容
矩陣的概念　矩陣的線性運算　矩陣的乘法　方陣的冪　方陣乘積的行列式　矩陣的轉(zhuǎn)置　逆矩陣的概念和性質(zhì)　矩陣可逆的充分必要條件　伴隨矩陣　矩陣的初等變換　初等矩陣　矩陣的秩　矩陣的等價 分塊矩陣及其運算
考試要求
1．理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣的定義及性質(zhì)，了解對稱矩陣、反對稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質(zhì)．
2．掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)．
3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣.
4.了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法．
5.了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運算法則．
（九）向量
考試內(nèi)容
向量的概念　向量的線性組合與線性表示　向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)　向量組的極大線性無關(guān)組 等價向量組　向量組的秩　向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系 向量的內(nèi)積
考試要求
1．了解向量的概念，掌握向量的加法和數(shù)乘運算法則．
2．理解向量的線性組合與線性表示、向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念，掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法．
3．了解向量組的極大線性無關(guān)組的概念和向量組秩的概念，會求向量組的極大線性無關(guān)組及秩．
4．理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關(guān)系．
5．了解內(nèi)積的概念．掌握向量內(nèi)積的運算．
（十）線性方程組
考試內(nèi)容                                        
線性方程組的克萊姆（Cramer）法則　線性方程組有解和無解的判定　齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解 非齊次線性方程組的解與相應(yīng)的齊次線性方程組（導(dǎo)出組）的解之間的關(guān)系　非齊次線性方程組的通解
考試要求
1.會用克萊姆法則解線性方程組．
2.掌握非齊次線性方程組有解和無解的判定方法．
3.理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法．
4.了解非齊次線性方程組有解的條件，理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念．
5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法．
（十一）矩陣的特征值和特征向量
考試內(nèi)容
矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)　相似矩陣的概念及性質(zhì)　矩陣可對角化的充分必要條件　實對稱矩陣的特征值和特征向量及相似對角矩陣
考試要求
1.理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質(zhì)，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法．
2.理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質(zhì)，了解矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法．
3.掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)．
 
五、主要參考文獻
[1]《高等數(shù)學(xué)》第六版（上、下冊），同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系主編，高等教育出版社，2007年。
[2]《線性代數(shù)》第五版，同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系主編，高等教育出版社，2007年。
 
 
 
 
編制單位：中國科學(xué)院大學(xué)
編制日期：2019年6月26日
 
 
 
 

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