2021北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)分析專業(yè)研究生考試大綱 正文

一、考試目的
要求考生比較系統(tǒng)地理解和掌握數(shù)學(xué)分析的基本概念、基本理論和基本方法。同時(shí)，考察考生的邏輯推理能力、計(jì)算能力和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
二、考試內(nèi)容
    1、實(shí)數(shù)集與函數(shù)
    實(shí)數(shù)的概念，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值與不等式，區(qū)間與鄰域，有界集與無(wú)界集，上確界與下確界，確界原理;函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，分段函數(shù)，有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)，周期函數(shù)。
2、數(shù)列極限
    極限概念，收斂數(shù)列的性質(zhì)（唯一性，有界性，保號(hào)性，單調(diào)性），數(shù)列極限存在的條件（單調(diào)有界準(zhǔn)則，迫斂性法則，柯西準(zhǔn)則）。
3、函數(shù)極限
    函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限的概念，函數(shù)極限的性質(zhì)（唯一性，局部有界性，局部保號(hào)性，不等式性，迫斂性），函數(shù)極限存在的條件（歸結(jié)原則（Heine定理），柯西準(zhǔn)則），兩個(gè)重要極限，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量，階的比較。
 4、函數(shù)連續(xù)
    一點(diǎn)連續(xù)的定義，區(qū)間連續(xù)的定義，單側(cè)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)及其分類，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及運(yùn)算，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性），復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性。
5、導(dǎo)數(shù)與微分
    導(dǎo)數(shù)的定義，單側(cè)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(四則運(yùn)算)，求導(dǎo)法則（反函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，參數(shù)方程的求導(dǎo)法則），微分的定義，微分的運(yùn)算法則，微分的應(yīng)用，高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。
6、微分學(xué)基本定理
    羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則，泰勒公式。
7、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
    函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)凹凸性與拐點(diǎn)。
8、實(shí)數(shù)完備性定理及應(yīng)用
    閉區(qū)間套定理，單調(diào)有界定理，柯西收斂準(zhǔn)則，確界存在定理，聚點(diǎn)定理，有限覆蓋定理，有界性定理的證明，最大小值性定理的證明，介值性定理的證明，一致連續(xù)性定理的證明。
9、不定積分
    不定積分概念，換元積分法與分部積分法，幾類可化為有理函數(shù)的積分。
10、定積分
    黎曼積分定義，函數(shù)可積的必要條件，可積性條件，達(dá)布上和與達(dá)布下和，可積函數(shù)類，可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式，無(wú)窮積分收斂與發(fā)散的概念，審斂法（柯西準(zhǔn)則，比較法，狄利克雷與阿貝爾判別法），瑕積分的收斂與發(fā)散的概念，收斂判別法。
11、定積分的應(yīng)用
    平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數(shù)的立體體積，旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長(zhǎng)與微分，曲率，功，液體壓力，引力。
12、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
    無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，發(fā)散等概念，柯西準(zhǔn)則，收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，比較原理，達(dá)朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茲判別法，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)及其性質(zhì)，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。
13、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
    一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準(zhǔn)則，優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法），一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)（連續(xù)性，可積性，可微性）。
14、冪級(jí)數(shù)
    阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級(jí)數(shù)的一致收斂性，冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)，幾種常見(jiàn)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)與泰勒定理。
15、傅里葉級(jí)數(shù)
    三角函數(shù)與正交函數(shù)系, 付里葉級(jí)數(shù)與傅里葉系數(shù), 以２p為周期函數(shù)的付里葉級(jí)數(shù), 收斂定理，以2L為周期的付里葉級(jí)數(shù)，收斂定理的證明。
16、多元函數(shù)極限與連續(xù)
    平面點(diǎn)集與多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的極限、累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性概念，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及初等函數(shù)連續(xù)性。
17、多元函數(shù)的微分學(xué)
    偏導(dǎo)數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性，連續(xù)性與可微性，偏導(dǎo)數(shù)與可微性，多元復(fù)合函數(shù)微分法及求導(dǎo)公式，方向?qū)?shù)與梯度，泰勒定理與極值。
18、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用
    隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)的定理，隱函數(shù)求導(dǎo)舉例，隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，雅可比行列式，平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線，條件極值的概念，條件極值的必要條件。
19、重積分
    二重積分的概念，可積條件，可積函數(shù)，二重積分的性質(zhì)，二重積分的計(jì)算：化二重積分為累次積分，換元法（極坐標(biāo)變換，一般變換），含參變量的積分，化三重積分為累次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標(biāo)變換，球坐標(biāo)變換），立體體積，曲面的面積，物體的重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，含參變量非正常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準(zhǔn)則，與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的關(guān)系，一致收斂的M判別法)，含參變量非正常積分的分析性質(zhì)，歐拉積分：伽馬函數(shù)及其性質(zhì),貝塔函數(shù)及其性質(zhì)。
20、曲線積分與曲面積分
    第一型曲面積分的的概念、性質(zhì)與計(jì)算，第二型曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算，兩類曲線積分的聯(lián)系，格林公式，曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性, 全函數(shù)，曲面的側(cè)，第二型曲面積分概念及性質(zhì)與計(jì)算，兩類曲面積分的關(guān)系，高斯公式，斯托克斯公式，空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)性，場(chǎng)的概念，梯度，散度和旋度。
 
三、試卷結(jié)構(gòu)
考試題型：計(jì)算題、證明題

北京郵電大學(xué)

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