812  專業(yè)綜合
碩士研究生招生考試大綱
高等代數(shù)（分值：85）
參考書：
《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》(上)，張英伯，王愷順，北京師范大學(xué)出版社；
《高等代數(shù)學(xué)》第三版，姚慕生，吳泉水，謝啟鴻。
一、總體要求
1．掌握基本的代數(shù)運(yùn)算方法,包括：行列式的計(jì)算，矩陣運(yùn)算（乘法、求秩、判別方陣的可逆性及求逆、求方陣的特征值及特征向量），線性方程組解的判定及求解，多項(xiàng)式運(yùn)算（帶余除法，輾轉(zhuǎn)相除法）.
2.掌握基本的代數(shù)分析技巧，包括：向量的線性相關(guān)和線性無關(guān)性，向量空間的基與維數(shù)，線性方程組解的結(jié)構(gòu),線性變換和矩陣的關(guān)系，方陣可相似對(duì)角化的判定,對(duì)稱矩陣與二次型，多項(xiàng)式的整除性及因式分解.
3.掌握代數(shù)的基本幾何背景，理解代數(shù)與幾何的關(guān)系，包括：歐氏空間與酉空間，正交變換與正交矩陣, 酉變換與酉矩陣，對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣, 實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化，最小二乘解，對(duì)偶空間與雙線性函數(shù).
二、考試內(nèi)容
第一部分 多項(xiàng)式
1.數(shù)域, 一元多項(xiàng)式的定義和基本運(yùn)算；
2.多項(xiàng)式的帶余除法，多項(xiàng)式整除性理論；
3.多項(xiàng)式的最大公因式，輾轉(zhuǎn)相除法；
4.不可約多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的唯一因式分解定理，多項(xiàng)式的重因式；
5.多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根；
6.代數(shù)基本定理，復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式；
7.有理數(shù)域和整數(shù)環(huán)上的多項(xiàng)式，Eisenstein判別法；
8.多元多項(xiàng)式的概念及字典排列法，對(duì)稱多項(xiàng)式及其基本定理.
第二部分 行列式
1.排列、n階行列式的定義；
2.n階行列式的性質(zhì)和基本計(jì)算；
3.代數(shù)余子式、行列式按一行（列）展開；
4.克萊姆法則；
5.Laplace定理.
第三部分 線性方程組
1.線性方程組求解的消元法；
2.矩陣的秩，用矩陣的初等變換求秩；
3.線性方程組可解的判別法；
4.兩個(gè)多項(xiàng)式的結(jié)式和多項(xiàng)式的判別式.
第四部分 矩陣
1.矩陣的線性運(yùn)算、乘法及轉(zhuǎn)置；
2.矩陣可逆的判定條件及性質(zhì)，用初等變換求可逆矩陣的逆；
3.矩陣乘積的行列式與秩；
4.矩陣的分塊及其運(yùn)算技巧.
第五部分 向量空間
1.向量空間的定義和例子；
2.向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)性，向量組的極大無關(guān)組；
3.向量空間的基與維數(shù)，過渡矩陣及坐標(biāo)變換公式；
4.子空間、子空間的交與和；
5.向量空間的同構(gòu)及其性質(zhì)；
6.矩陣的行秩和列秩，齊次線性方程組的解空間與基礎(chǔ)解系.
第六部分 線性變換
1.線性映射和線性變換的定義及例子；
2.線性變換的運(yùn)算和矩陣的關(guān)系；
3.線性變換的不變子空間及其性質(zhì)；
4.方陣的特征值和特征向量；
5.可以對(duì)角化的矩陣；
6.極小多項(xiàng)式與Cayley-Hamilton定理;
7.向量空間的準(zhǔn)素分解，矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；
8.矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形.
第七部分 歐氏空間和酉空間
1.向量的內(nèi)積和歐氏空間的定義；
2.規(guī)范正交基，Schmidt正交化方法；
3.正交變換與正交矩陣；
4.對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化；
5.向量到子空間的距離，最小二乘解；
6.酉空間與酉變換.
第八部分 二次型
1.二次型與對(duì)稱矩陣，矩陣的合同關(guān)系；
2.復(fù)數(shù)域上的二次型及其典范形；
3.實(shí)數(shù)域上的二次型，慣性定律；
4.正定二次型與正定矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣正定的判定條件.
第九部分 雙線性函數(shù)
1.線性函數(shù)與對(duì)偶空間；
2.雙線性函數(shù)及其度量矩陣；
3.對(duì)稱雙線性函數(shù)，反對(duì)稱雙線性函數(shù).

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